GH-02 De drie cirkels
GH-02 Drie cirkels
Drie cirkels, een blauwe, een groene en een rode, raken aan een rechte lijn. De groene cirkel bevindt zich tussen de blauwe en rode cirkel en raakt aan deze cirkels. Daarnaast raken de blauwe en rode cirkel ook aan elkaar.
Stel een verband op tussen de stralen van de drie cirkels.
Uitleg
Pas de stelling van Pythagoras toe in \( \Delta M_1CM_2 \) .
\( M_1C^2+(r_2-r_1)^2=(r_1+r_2)^2 \)
Hieruit volgt: \( M_1C^2=r_1^2+2r_1r_2+r_2^2-r_1^2-(-r_1r_2)-r_2^2 = 4r_1r_2 \)
Dus \( M_1C= 2 \sqrt{r_1r_2} \)
Zo bewijs je ook:
\( AM_3=2 \sqrt{r_1r_3} \)
\( M_3B=2 \sqrt{r_2r_3} \)
Hieruit volgt: \(AB=M_1C=2\sqrt{r_1r_2}=AM_3+M_3B \)
\( =2 \cdot \sqrt{r_1r_3}+2 \sqrt{r_2r_3} \)
Deel nu door \( 2r_1r_2r_3 \), dan volgt:
\( \frac{1}{\sqrt{r_3}}= \frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}} \)